HOMOLOGIA AFECTIVA

Resumen de Homología efectiva y sucesiones espectrales
Ana Romero Ibáñez
La homología efectiva y las sucesiones espectrales son dos técnicas diferentes de la Topología Algebraica que pueden ser utilizadas para el cálculo de grupos de homología y de homotopía. En este trabajo tratamos de relacionar ambos métodos, mostrando que el método de la homología efectiva puede ser utilizado también para producir algoritmos que calculen algunas sucesiones espectrales. En la tesis nos centramos en dos situaciones particulares: las sucesiones espectrales asociadas a complejos filtrados y la sucesión espectral de Bousfield-Kan.
La primera parte de la tesis está dedicada a las sucesiones espectrales de complejos filtrados, que bajo ciertas condiciones convergen a los grupos de homología del complejo inicial. Utilizando el método de la homología efectiva hemos desarrollado varios algoritmos para calcular las distintas componentes de estas sucesiones espectrales: grupos y diferenciales en todos los niveles, nivel de convergencia y filtración de los grupos de homología inducida por la filtración inicial. Estos algoritmos han sido implementados como un nuevo módulo para el sistema Kenzo, un programa de Cálculo Simbólico en Topología Algebraica, y pueden ser utilizados para calcular dos de los ejemplos clásicos de sucesión espectral, las de Serre y Eilenberg-Moore.
Otras sucesiones espectrales no vienen definidas por medio de ningún complejo filtrado. Es el caso de la sucesión espectral de Bousfield-Kan, relacionada con el cálculo de grupos de homotopía, que estudiamos en la segunda parte de la tesis. Nuestros algoritmos para el cálculo de sucesiones espectrales de complejos filtrados no se pueden utilizar, pero el método de la homología efectiva puede ser útil de nuevo para desarrollar una versión constructiva de la sucesión espectral de Bousfield-Kan. Como un primer paso necesario, nuestro resultado principal es un algoritmo que calcula la homología efectiva del grupo Abeliano simplicial libre RX generado por un conjunto simplicial 1-reducido X. Este algoritmo permite construir los niveles 1 y 2 de la sucesión espectral; para el cálculo del resto de "páginas", presentamos el esquema de un nuevo algoritmo que todavía no está terminado. Además, incluimos una prueba de la convergencia de la sucesión espectral.